Наталия, я думаю, что здесь нужно следовать букве закона и меньше слушать советов от людей, которые не владеют информацией в целом, а отвечают только за какой-то узкий участок работы.

У Вас кроме названия организации ничего не поменялось. Как Вы действуете в отношении россиян, также должны и действовать в отношении иностранных работников. По россиянам Вы что сделали? Оформили запись в трудовой об изменении названия организации? Тоже самое делайте и по иностранцам.

В ТК нет статьи о том, что в случае изменения названия организации нужно увольнять людей и нанимать заново. Если они у Вас стоят на миграционном учете, то Вы должны оформить им новые "регистрации" с правильным названием организации и все.

При увольнении заполняете бланк уведомления с новым названием и прежним ИНН. Вас должны принять. Проблем с внесением информации в базу возникнуть не должно.