Здравствуйте, Наталья. Можно.  ID-карта - это официальный документ, удостоверяющий личность гражданина Кыргызстана. У работника должен быть нотариально заверенный перевод этого документа, чтобы было удобно вносить по нему информацию в уведомление.

В соответствии с Нотой МИД России, поступившей в Посольство Кыргызской Республики 25 декабря 2014 года, граждане Кыргызстана с 1 января 2015 года могут осуществлять въезд и выезд в/из России как по общегражданским (заграничным) паспортам Кыргызской Республики, так и по внутренним (так называемая ID-card)
Изначально ID-карты выпускались для обращения внутри страны, но потом вышли карты нового образца, которые уже предназначались для использования за пределами страны.

Единственное, сотрудники МВД очень не любят ситуации, когда иностранец въехал в страну по одному документу, встал на миграционный учет по другому, а на работу устраивается по третьему. Они всегда требуют, чтобы в период пребывания иностранец пользовался каким-то одним. Поэтому вы тоже проверьте, реквизиты какого документа были указаны в миграционной карте и регистрации.